CONSIDERACIONES Y ACLARACIONES

REDONDEOS Y TRUNCAMIENTOS

DATOS

• Número decimal: N ≡ X.Y
• Parte entera: X
• Parte decimal: Y
• Formato parte decimal: Y = {C₁}{C₂}{C₃}…{C_n}…

OPERACIONES

• Parte entera: $E\left[N\right]=X$
• Parte decimal: $D\left[N\right]=Y=N-E\left[N\right]$
• Truncamiento (cifra k-ésima): $T_k\left[N\right]=X.\left\{C_1\right\}\left\{C_2\right\}\left\{C_3\right\}\dots \left\{C_{\mathrm{k}}\right\}$
• Redondeo (cifra k-ésima):

ELEMENTOS DE DIVISIÓN

DATOS

• DIVIDENDO: d_n
• DIVISOR: d_r
• COCIENTE: q
• RESTO: r

OPERACIONES

• COCIENTE ENTERO: $Q\left[\frac{d_n}{d_r}\right]\equiv q=E\left[\frac{d_n}{d_r}\right]$
• RESTO: $R\left[\frac{d_n}{d_r}\right]\equiv r=d_n-d_r·q=d_n-d_r·E\left[\frac{d_n}{d_r}\right]$

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DÍA JULIANO (JULIAN DAY) J_D CORRESPONDIENTE A UNA FECHA Y HORA GREGORIANOS

ARGUMENTOS

• Fecha: d/m/a
• Hora: hr:mn:sg

CÁLCULOS

Configuración de parámetros

1. Parámetro ANUAL, P_A
$P_A=\left\{\begin{array}{ccc}a-1& \text{si}& m\le 2\\ a& \text{si}& m>2\end{array}\right.$
2. Parámetro MENSUAL, P_M
$P_M=\left\{\begin{array}{ccc}m+12& \text{si}& m\le 2\\ m& \text{si}& m>2\end{array}\right.$
3. Parámetro de paso, P_o
$P_o=E\left[\frac{a}{100}\right]$
4. Parámetro CALENDARIO, P_B
$P_B=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{si}& "d/m/a"<4/10/1582\\ 2-P_o+E\left[\frac{P_o}{4}\right]& \text{si}& "d/m/a"\ge 4/10/1582\end{array}\right.$
5. Parámetro DÍA, P_D
$P_D=d$
6. Parámetro HORA, P_H
$P_{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{hr}+\frac{\mathrm{mn}}{60}+\frac{\mathrm{sg}}{3600}}{24}$

Cálculo del día juliano

$J_D=E[365.25\cdot (P_{\mathrm{A}}+4716\left)\right]+E[30.6001\cdot (P_{\mathrm{M}}+1\left)\right]+P_{\mathrm{B}}+(P_{\mathrm{D}}+P_{\mathrm{H}})-1524.5$

Devuelve DÍA JULIANO J_D

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AÑO JULIANO REFERIDO A J2000.0, J_Y

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

$J_Y=\frac{J_D-2451545.0}{\mathrm{365,25}}$

Devuelve AÑO JULIANO J_Y desde J2000.0

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SIGLO JULIANO O CENTURIA JULIANA REFERIDO A J2000.0, J_C

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

$T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$

Devuelve SIGLO JULIANO T desde J2000.0

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MILENIO JULIANO REFERIDO A J2000.0, J_M

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

• $T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$
• $\tau \equiv t=\frac{J_C}{10}\equiv \frac{T}{10}$

Devuelve MILENIO JULIANO τ desde J2000.0

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DIEZMILENIOS JULIANOS REFERIDO A J2000.0, U

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

• $T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$
• $\tau \equiv t=\frac{J_C}{10}\equiv \frac{T}{10}$
• $U=\frac{\tau }{10}\equiv \frac{T}{100}\equiv \frac{J_Y}{10000}$

Devuelve DIEZMILENIO JULIANO U desde J2000.0

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DELTA-T: ΔT = [TD] - [UT]

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• año y mes: "a" y "m"

CÁLCULOS

• $y=a+\frac{(m-0.5)}{12}$
• $\text{Si}a<-500{ \begin{array}{l}u=\frac{y-1820}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·u^2\end{array}$
• $\text{Si}-500\le a<500{ \begin{array}{l}u=\frac{y}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=10583.6-1014.41·u+33.78311·u^2-5.952053·u^3-0.1798452·u^4+0.022174192·u^5+0.0090316521·u^6\end{array}$
• $\text{Si}-500\le a<1600{ \begin{array}{l}u=\frac{y-1000}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=1574.2-556.01·u+71.23472·u^2+0.319781·u^3-0.8503463·u^4-0.005050998·u^5+0.0083572073·u^6\end{array}$
• $\text{Si}1600\le a<1700{ \begin{array}{l}u=y-1600\\ \mathrm{\Delta T}=120-0.98081·u-0.01532·u^2+\frac{u^3}{7129}\end{array}$
• $\text{Si}1700\le a<1800{ \begin{array}{l}u=y-1700\\ \mathrm{\Delta T}=8.83+0.1603·u-0.0059285·u^2+0.00013336·u^3-\frac{u^4}{1174000}\end{array}$
• $\text{Si}1800\le a<1860{ \begin{array}{l}u=y-1800\\ \mathrm{\Delta T}=13.72-0.332447·u+0.0068612·u^2+0.0041116·u^3-0.00037436·u^4+0.0000121272·u^5-0.0000001699·u^6+0.000000000875·u^7\end{array}$
• $\text{Si}1860\le a<1900{ \begin{array}{l}u=y-1860\\ \mathrm{\Delta T}=7.62+0.5737·u-0.251754·u^2+0.01680668·u^3-0.0004473624·u^4+\frac{u^5}{233174}\end{array}$
• $\text{Si}1900\le a<1920{ \begin{array}{l}u=y-1900\\ \mathrm{\Delta T}=-2.79+1.494119·u-0.0598939·u^2+0.0061966·u^3-0.000197·u^4\end{array}$
• $\text{Si}1920\le a<1941{ \begin{array}{l}u=y-1920\\ \mathrm{\Delta T}=21.20+0.84493·u-0.076100·u^2+0.0020936·u^3\end{array}$
• $\text{Si}1941\le a<1961{ \begin{array}{l}u=y-1950\\ \mathrm{\Delta T}=29.07+0.407·u-\frac{u^2}{233}+\frac{u^3}{2547}\end{array}$
• $\text{Si}1961\le a<1986{ \begin{array}{l}u=y-1975\\ \mathrm{\Delta T}=45.45+1.067·u-\frac{u^2}{260}-\frac{u^3}{718}\end{array}$
• $\text{Si}1986\le a<2005{ \begin{array}{l}u=y-2000\\ \mathrm{\Delta T}=263.86+0.3345·u-0.060374·u^2+0.0017275·u^3+0.000651814·u^4\end{array}$
• $\text{Si}2005\le a<2050{ \begin{array}{l}u=y-2000\\ \mathrm{\Delta T}=62.92+0.32217·u+0.005589·u^2\end{array}$
• $\text{Si}2050\le a<2150{ \begin{array}{l}u=\mathrm{2150}-\mathrm{y}\\ v=y-1820\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·{\left(\frac{v}{100}\right)}^2-0.5628·u\end{array}$
• $\text{Si}a\ge 2150{ \begin{array}{l}u=\frac{a-1820}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·u^2\end{array}$

Devuelve segundos de tiempo

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FECHA GREGORIANA CORRESPONDIENTE A UN DÍA JULIANO

ARGUMENTOS

• Día juliano, J_D

CÁLCULOS

Configuración de parámetros

1. $Z=E[J_D+0.5]$
2. $F=D[J_D+0.5]$
3. $A_0=E\left[\frac{Z-1867216.25}{\mathrm{36524,25}}\right]$
4. $A={ \begin{array}{lll}Z& \text{si}& Z<2299161\\ Z+1+A_0-E\left[\frac{A_0}{4}\right]& \text{si}& Z\ge 2299161\end{array}$
5. $B=A+1524$
6. $C=E\left[\frac{B-122.1}{\mathrm{365,25}}\right]$
7. $D=E[365.25\cdot C]$
8. $K=E\left[\frac{B-D}{30.6001}\right]$

Cálculo de fecha

1. FECHA: PARÁMETRO d₀
$d_0=B-D-E[30.6001\cdot K]+F$
2. FECHA: DÍA
$d=E\left[d_0\right]$
3. FECHA: MES
$m={ \begin{array}{ccc}K-1& \text{si}& K<14\\ K-13& \text{si}& K<14\end{array}$
4. FECHA: AÑO
$a={ \begin{array}{ccc}C-4716& \text{si}& m>2\\ C-4715& \text{si}& m\le 2\end{array}$
5. FECHA: PARÁMETRO H₀
$H_0=(d_0-E[d_0\left]\right)\cdot 24$
6. TIEMPO: HORA
$\mathrm{hr}=E\left[H_0\right]$
7. FECHA: PARÁMETRO M₀
$M_0=(H_0-\mathrm{hr})\cdot 60$
8. TIEMPO: MINUTO
$\mathrm{mn}=E\left[M_0\right]$
9. FECHA: PARÁMETRO S₀
$S_0=(M_0-\mathrm{mn})\cdot 60$
10. TIEMPO: SEGUNDO
PRECISIÓN: (cifras significativas: n) con tres suele ser suficiente, n=3
$p={10}^n$
$\mathrm{sg}=\frac{E\left[\right(p\cdot S_0)+0.5]}{p}$

Devuelve fecha gregoriana: { [d/m/a] , [hr:mn:sg] }

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TABLAS DE DIFERENCIAS PARA 3 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares (x_i,y_i), para i=0,1,2

CÁLCULOS

• Construcción de la tabla de diferencias
  

  ABSCISAS	ORDENADAS	Δ1	Δ2
  x0	y0
  		a
  x1	y1		c
  		b
  x2	y2

• Cálculo de diferencias
  • $a=y_1-y_0$
  • $b=y_2-y_1$
  • $c=b-a=y_0+y_2-2·y_1$

  Devuelve los parámetros a, b y c

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TABLAS DE DIFERENCIAS PARA 5 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares (x_i,y_i), para i=0,1,2,3,4

CÁLCULOS

• Construcción de la tabla de diferencias
  

  ABSCISAS	ORDENADAS	Δ1	Δ2	Δ3	Δ4
  x0	y0
  		A
  x1	y1		E
  		B		H
  x2	y2		F		K
  		C		J
  x3	y3		G
  		D
  x4	y4

• Cálculo de diferencias
  • $A=y_1-y_0$
  • $B=y_2-y_1$
  • $C=y_3-y_2$
  • $D=y_4-y_3$
  • $E=B-A=y_0+y_2-2·y_1$
  • $F=C-B=y_1+y_3-2·y_2$
  • $G=D-C=y_2+y_4-2·y_3$
  • $H=F-E=y_0+y_2-y_3-2·y_1+2·y_2$
  • $J=G-F=y_1+y_3-y_4-2·y_2+2·y_3$
  • $K=J-H=y_0-y_1+y_2+y_4-2·y_1+4·y_2-4·y_3$

  Devuelve los parámetros A, B, C, D, E, F, G, H, J y K

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INTERPOLACIÓN DE VALOR INTERMEDIO. 3 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares: (x_i,y_i), para i=0,1,2
• Argumento (abscisa) de interpolación: X_f

CÁLCULOS

• Construir la tabla de diferencias para 3 nodos
• Tomamos la pareja de valores centrales:
  • $x_c=x_1$
  • $y_c=y_1$
• $n_f=X_f-x_c$

• Devuelve el valor interpolado Y_f

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INTERPOLACIÓN DE VALOR INTERMEDIO. 5 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares: (x_i,y_i), para i=0,1,2,3,4
• Argumento (abscisa) de interpolación: X_f

CÁLCULOS

• Construir la tabla de diferencias para 5 nodos
• Tomamos la pareja de valores centrales:
  • $x_c=x_2$
  • $y_c=y_2$
• $n_f=X_f-x_c$
• $Y_f=y_c+n_f·\left(\frac{B+C}{2}+\frac{H+J}{12}\right)+{n_f}^2·\left(\frac{F}{2}-\frac{K}{24}\right)+{n_f}^3·\left(\frac{H+J}{12}\right)+{n_f}^4·\left(\frac{k}{24}\right)$

  Devuelve el valor interpolado Y_f

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EXTRAPOLACIÓN DE EXTREMOS. 3 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares: (x_i,y_i), para i=0,1,2
• Argumento (abscisa) de interpolación: X_m

CÁLCULOS

• Construir la tabla de diferencias para 3 nodos
• Tomamos la pareja de valores centrales:
  • $x_c=x_1$
  • $y_c=y_1$
• Amplitud del intervalo tabular: $d=x_{j+1}-x_j$ (Para j=0 o 1)
• $n_m=-\frac{a+b}{2·c}$
• $X_m=x_c+d·n_m$
• $Y_m=y_c-\frac{{(a-b)}^2}{8·c}$

  Devuelve pareja de valores del extremo (X_m,Y_m)

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EXTRAPOLACIÓN DE EXTREMOS. 5 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares: (x_i,y_i), para i=0,1,2,3,4
• Argumento (abscisa) de interpolación: X_m
• Precisión (cifras significativas) en iteración: p (exponente de 10^-p)

CÁLCULOS

• Construir la tabla de diferencias para 5 nodos
• Tomamos la pareja de valores centrales:
  • $x_c=x_2$
  • $y_c=y_2$
• Amplitud del intervalo tabular: $d=x_{j+1}-x_j$ (Para j=0,1,2 o 3 )
• Factor de interpolación por iteraciones:
  • ITERACIÓN 0. Valor inicial: $k_0=0$
  • ITERACIÓN i-ésima: $k_i=\frac{6·B+6·C-H-J+3·k_{i-1}^2·(H+J)+2·k_{i-1}^3·<mi>K</mi>}{K-12·F}$
  • CONTROL DE ITERACIONES: $\text{Si}\left\{\begin{array}{cc}|k_i-k_{i-1}|\ge {10}^{-p}& \text{Siguiente}\text{iteración}\\ |k_i-k_{i-1}|<{10}^{-p}& n_m=k_i\end{array}\right.$
• $X_m=x_c+d·n_m$
• $$ Y_m=y_c+n_m·\left(\frac{B+C}{2}+\frac{H+J}{12}\right)+n_m^2·\left(\frac{F}{2}-\frac{K}{24}\right)+n_m^3·\left(\frac{H+J}{12}\right)+n_m^4·\left(\frac{k}{24}\right)$$

  Devuelve pareja de valores del extremo (X_m,Y_m)

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LOCALIZACIÓN DE UN CERO. 3 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares: (x_i,y_i), para i=0,1,2
• Precisión (cifras significativas) en iteración: p (exponente de 10^-p)

CÁLCULOS

• Construir la tabla de diferencias para 3 nodos
• Tomamos la pareja de valores centrales:
  • $x_c=x_1$
  • $y_c=y_1$
• Amplitud del intervalo tabular: $d=x_{j+1}-x_j$ (Para j=0 o 1)
• Factor de interpolación por iteraciones:
  • ITERACIÓN 0. Valor inicial: $k_0=0$
  • ITERACIÓN i-ésima: $k_i=k_{i-1}-\frac{2·y_c+k_{i-1}·(a+b+c·k_{i-1})}{a+b+2·c·k_{i-1}}$
  • CONTROL DE ITERACIONES: $\text{Si}\left\{\begin{array}{cc}|k_i-k_{i-1}|\ge {10}^{-p}& \text{Siguiente}\text{iteración}\\ |k_i-k_{i-1}|<{10}^{-p}& n_0=k_i\end{array}\right.$
• $X_0=x_c+d·n_0$

  Devuelve pareja de valores del cero (X₀,0)

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LOCALIZACIÓN DE UN CERO. 5 NODOS

ARGUMENTOS

• Parejas tabulares: (x_i,y_i), para i=0,1,2,3,4
• Precisión (cifras significativas) en iteración: p (exponente de 10^-p)

CÁLCULOS

• Construir la tabla de diferencias para 3 nodos
• Tomamos la pareja de valores centrales:
  • $x_c=x_2$
  • $y_c=y_2$
• Amplitud del intervalo tabular: $d=x_{j+1}-x_j$ (Para j=0,1,2 o 3)
• Variables intermedias:
  • $M=\frac{K}{24}$
  • $N=\frac{H+H}{12}$
  • $P=\frac{F}{2}-M$
  • $Q=\frac{B+C}{2}-N$
• Factor de interpolación por iteraciones:
  • ITERACIÓN 0. Valor inicial: $k_0=0$
  • ITERACIÓN i-ésima:
  • CONTROL DE ITERACIONES: $\text{Si}\left\{\begin{array}{cc}|k_i-k_{i-1}|\ge {10}^{-p}& \text{Siguiente}\text{iteración}\\ |k_i-k_{i-1}|<{10}^{-p}& n_0=k_i\end{array}\right.$
• $X_0=x_c+d·n_0$

  Devuelve pareja de valores del cero (X₀,0)

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