CONSIDERACIONES Y ACLARACIONES

REDONDEOS Y TRUNCAMIENTOS

DATOS

• Número decimal: N ≡ X.Y
• Parte entera: X
• Parte decimal: Y
• Formato parte decimal: Y = {C₁}{C₂}{C₃}…{C_n}…

OPERACIONES

• Parte entera: $E\left[N\right]=X$
• Parte decimal: $D\left[N\right]=Y=N-E\left[N\right]$
• Truncamiento (cifra k-ésima): $T_k\left[N\right]=X.\left\{C_1\right\}\left\{C_2\right\}\left\{C_3\right\}\dots \left\{C_{\mathrm{k}}\right\}$
• Redondeo (cifra k-ésima):

ELEMENTOS DE DIVISIÓN

DATOS

• DIVIDENDO: d_n
• DIVISOR: d_r
• COCIENTE: q
• RESTO: r

OPERACIONES

• COCIENTE ENTERO: $Q\left[\frac{d_n}{d_r}\right]\equiv q=E\left[\frac{d_n}{d_r}\right]$
• RESTO: $R\left[\frac{d_n}{d_r}\right]\equiv r=d_n-d_r·q=d_n-d_r·E\left[\frac{d_n}{d_r}\right]$

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DÍA JULIANO (JULIAN DAY) J_D CORRESPONDIENTE A UNA FECHA Y HORA GREGORIANOS

ARGUMENTOS

• Fecha: d/m/a
• Hora: hr:mn:sg

CÁLCULOS

Configuración de parámetros

1. Parámetro ANUAL, P_A
$P_A=\left\{\begin{array}{ccc}a-1& \text{si}& m\le 2\\ a& \text{si}& m>2\end{array}\right.$
2. Parámetro MENSUAL, P_M
$P_M=\left\{\begin{array}{ccc}m+12& \text{si}& m\le 2\\ m& \text{si}& m>2\end{array}\right.$
3. Parámetro de paso, P_o
$P_o=E\left[\frac{a}{100}\right]$
4. Parámetro CALENDARIO, P_B
$P_B=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{si}& "d/m/a"<4/10/1582\\ 2-P_o+E\left[\frac{P_o}{4}\right]& \text{si}& "d/m/a"\ge 4/10/1582\end{array}\right.$
5. Parámetro DÍA, P_D
$P_D=d$
6. Parámetro HORA, P_H
$P_{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{hr}+\frac{\mathrm{mn}}{60}+\frac{\mathrm{sg}}{3600}}{24}$

Cálculo del día juliano

$J_D=E[365.25\cdot (P_{\mathrm{A}}+4716\left)\right]+E[30.6001\cdot (P_{\mathrm{M}}+1\left)\right]+P_{\mathrm{B}}+(P_{\mathrm{D}}+P_{\mathrm{H}})-1524.5$

Devuelve DÍA JULIANO J_D

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AÑO JULIANO REFERIDO A J2000.0, J_Y

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

$J_Y=\frac{J_D-2451545.0}{\mathrm{365,25}}$

Devuelve AÑO JULIANO J_Y desde J2000.0

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SIGLO JULIANO O CENTURIA JULIANA REFERIDO A J2000.0, J_C

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

$T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$

Devuelve SIGLO JULIANO T desde J2000.0

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MILENIO JULIANO REFERIDO A J2000.0, J_M

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

• $T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$
• $\tau \equiv t=\frac{J_C}{10}\equiv \frac{T}{10}$

Devuelve MILENIO JULIANO τ desde J2000.0

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DIEZMILENIOS JULIANOS REFERIDO A J2000.0, U

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

• $T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$
• $\tau \equiv t=\frac{J_C}{10}\equiv \frac{T}{10}$
• $U=\frac{\tau }{10}\equiv \frac{T}{100}\equiv \frac{J_Y}{10000}$

Devuelve DIEZMILENIO JULIANO U desde J2000.0

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DELTA-T: ΔT = [TD] - [UT]

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• año y mes: "a" y "m"

CÁLCULOS

• $y=a+\frac{(m-0.5)}{12}$
• $\text{Si}a<-500{ \begin{array}{l}u=\frac{y-1820}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·u^2\end{array}$
• $\text{Si}-500\le a<500{ \begin{array}{l}u=\frac{y}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=10583.6-1014.41·u+33.78311·u^2-5.952053·u^3-0.1798452·u^4+0.022174192·u^5+0.0090316521·u^6\end{array}$
• $\text{Si}-500\le a<1600{ \begin{array}{l}u=\frac{y-1000}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=1574.2-556.01·u+71.23472·u^2+0.319781·u^3-0.8503463·u^4-0.005050998·u^5+0.0083572073·u^6\end{array}$
• $\text{Si}1600\le a<1700{ \begin{array}{l}u=y-1600\\ \mathrm{\Delta T}=120-0.98081·u-0.01532·u^2+\frac{u^3}{7129}\end{array}$
• $\text{Si}1700\le a<1800{ \begin{array}{l}u=y-1700\\ \mathrm{\Delta T}=8.83+0.1603·u-0.0059285·u^2+0.00013336·u^3-\frac{u^4}{1174000}\end{array}$
• $\text{Si}1800\le a<1860{ \begin{array}{l}u=y-1800\\ \mathrm{\Delta T}=13.72-0.332447·u+0.0068612·u^2+0.0041116·u^3-0.00037436·u^4+0.0000121272·u^5-0.0000001699·u^6+0.000000000875·u^7\end{array}$
• $\text{Si}1860\le a<1900{ \begin{array}{l}u=y-1860\\ \mathrm{\Delta T}=7.62+0.5737·u-0.251754·u^2+0.01680668·u^3-0.0004473624·u^4+\frac{u^5}{233174}\end{array}$
• $\text{Si}1900\le a<1920{ \begin{array}{l}u=y-1900\\ \mathrm{\Delta T}=-2.79+1.494119·u-0.0598939·u^2+0.0061966·u^3-0.000197·u^4\end{array}$
• $\text{Si}1920\le a<1941{ \begin{array}{l}u=y-1920\\ \mathrm{\Delta T}=21.20+0.84493·u-0.076100·u^2+0.0020936·u^3\end{array}$
• $\text{Si}1941\le a<1961{ \begin{array}{l}u=y-1950\\ \mathrm{\Delta T}=29.07+0.407·u-\frac{u^2}{233}+\frac{u^3}{2547}\end{array}$
• $\text{Si}1961\le a<1986{ \begin{array}{l}u=y-1975\\ \mathrm{\Delta T}=45.45+1.067·u-\frac{u^2}{260}-\frac{u^3}{718}\end{array}$
• $\text{Si}1986\le a<2005{ \begin{array}{l}u=y-2000\\ \mathrm{\Delta T}=263.86+0.3345·u-0.060374·u^2+0.0017275·u^3+0.000651814·u^4\end{array}$
• $\text{Si}2005\le a<2050{ \begin{array}{l}u=y-2000\\ \mathrm{\Delta T}=62.92+0.32217·u+0.005589·u^2\end{array}$
• $\text{Si}2050\le a<2150{ \begin{array}{l}u=\mathrm{2150}-\mathrm{y}\\ v=y-1820\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·{\left(\frac{v}{100}\right)}^2-0.5628·u\end{array}$
• $\text{Si}a\ge 2150{ \begin{array}{l}u=\frac{a-1820}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·u^2\end{array}$

Devuelve segundos de tiempo

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FECHA GREGORIANA CORRESPONDIENTE A UN DÍA JULIANO

ARGUMENTOS

• Día juliano, J_D

CÁLCULOS

Configuración de parámetros

1. $Z=E[J_D+0.5]$
2. $F=D[J_D+0.5]$
3. $A_0=E\left[\frac{Z-1867216.25}{\mathrm{36524,25}}\right]$
4. $A={ \begin{array}{lll}Z& \text{si}& Z<2299161\\ Z+1+A_0-E\left[\frac{A_0}{4}\right]& \text{si}& Z\ge 2299161\end{array}$
5. $B=A+1524$
6. $C=E\left[\frac{B-122.1}{\mathrm{365,25}}\right]$
7. $D=E[365.25\cdot C]$
8. $K=E\left[\frac{B-D}{30.6001}\right]$

Cálculo de fecha

1. FECHA: PARÁMETRO d₀
$d_0=B-D-E[30.6001\cdot K]+F$
2. FECHA: DÍA
$d=E\left[d_0\right]$
3. FECHA: MES
$m={ \begin{array}{ccc}K-1& \text{si}& K<14\\ K-13& \text{si}& K<14\end{array}$
4. FECHA: AÑO
$a={ \begin{array}{ccc}C-4716& \text{si}& m>2\\ C-4715& \text{si}& m\le 2\end{array}$
5. FECHA: PARÁMETRO H₀
$H_0=(d_0-E[d_0\left]\right)\cdot 24$
6. TIEMPO: HORA
$\mathrm{hr}=E\left[H_0\right]$
7. FECHA: PARÁMETRO M₀
$M_0=(H_0-\mathrm{hr})\cdot 60$
8. TIEMPO: MINUTO
$\mathrm{mn}=E\left[M_0\right]$
9. FECHA: PARÁMETRO S₀
$S_0=(M_0-\mathrm{mn})\cdot 60$
10. TIEMPO: SEGUNDO
PRECISIÓN: (cifras significativas: n) con tres suele ser suficiente, n=3
$p={10}^n$
$\mathrm{sg}=\frac{E\left[\right(p\cdot S_0)+0.5]}{p}$

Devuelve fecha gregoriana: { [d/m/a] , [hr:mn:sg] }

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ÁNGULO HORARIO LOCAL DEL CENTRO DE UN CUERPO

ARGUMENTOS

• Altitud estándar del centro del cuerpo (refracción): h₀ en grados
• Declinación del cuerpo en el momento de cálculo: δ en grados
• Latitud del lugar de observación: L en grados
• Altitud estándar del cuerpo en el momento de orto u ocaso (afectada por refracción): h_s en grados:
  • Para estrellas y planetas: h_s = - 0º 34' = - 0,5666667º
  • Para el Sol: h_s = - 0º 50' = - 0,8333333º
  • Para La Luna (valor medio): h_s = + 0,125º

CÁLCULOS

• $H_0=arc\; cos\left(\frac{sen\left(h_{\mathrm{s}}\right)-sen\left(L\right)·sen\left(\delta \right)}{cos\left(L\right)·cos\left(\delta \right)}\right)$

Devuelve el ángulo 0 en grados

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FRACCIÓN DEL DÍA DE CÁLCULO DE MOMENTO DE ORTOS, TRÁNSITOS Y OCASOS DE UN CUERPO

ARGUMENTOS

• Coordenadas ecuatoriales del cuerpo en un día: α, span class='grieg'>α ambas en grados
• Coordenadas geográficas del punto de observación: L, span class='grieg'>φ ambas en grados
• Día juliano de cálculo: J_D en escala [UT]

CÁLCULOS

• Calcular el Tiempo Sideral Aparente en Greenwich a las 0^h [UT]: Θ
• Calcular el ángulo horario local en el centro del cuerpo: H₀
• Fracción del día para:
  • EL TRÁNSITO: $m_0=\frac{\alpha +L-\Theta }{360}$
  • EL ORTO: $m_1=m_0-\frac{H_{<mn>0</mn>}}{360}$
  • EL OCASO: $m_2=m_0+\frac{H_{<mn>0</mn>}}{360}$
• Por ser fracción de día, deben estar comprendido entre 0 y 1:
  Para i=0,1,2:
  • Si m_i < 0: $m_i\equiv m_i+1$
  • Si m_i > 1: $m_i\equiv m_i-1$

Devuelve las fracciones del día de cálculo: m₀, m₁ y m₂ para tránsito, orto y ocaso respectivamente

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TIEMPO SIDERAL APARENTE EN GREENWICH EN EL MOMEMTO CONSIDERADO

ARGUMENTOS

• Día juliano de cálculo [UT]: J_D
• Momento de cálculo: m_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)

CÁLCULOS

• Calcular el tiempo aparente en Greenwich a las 0^h UT: Θ
• ${\mathrm{TS}}_i=\Theta +360.985647·m_i$

Devuelve el Tiempo sideral aparente en grados para el momento (fracción del día) m_i

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FACTOR DE INTERPOLACIÓN CORRESPONDIENTE A UN MOMENTO DE FRACCIÓN DE DÍA

ARGUMENTOS

• Día juliano de cálculo [UT]: J_D
• Momento de cálculo: m_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)

CÁLCULOS

• Calcular Δt (en días)
• $n_i=m_i+\frac{\Delta t}{86400}$

Devuelve el factor n_i

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INTERPOLACIÓN SIMPLE PARA LAS COORDENADAS ECUATORIALES

ARGUMENTOS

• Coordenadas ecuatoriales:
  • Posición del cuerpo en el día anterior al de cálculo: (α₁,δ₁)
  • Posición del cuerpo en el día de cálculo: (α₂,δ₂)
  • Posición del cuerpo en el día posterior al de cálculo: (α₃,δ₃)
• Factores de interpolación: n₀, n₁ y n₂ correspondientes a la fracción del día para el tránsito, orto y ocaso respectivamente.

CÁLCULOS

• Para la ascensión recta:
  • $a_{\alpha }={\alpha }_2-{\alpha }_1$
  • $b_{\alpha }={\alpha }_3-{\alpha }_2$
  • $c_{\alpha }=b_{\alpha }-a_{\alpha }$
• Para la declinación:
  • $a_{\delta }={\delta }_2-{\delta }_1$
  • $b_{\delta }={\delta }_3-{\delta }_2$
  • $c_{\delta }=b_{\delta }-a_{\delta }$
• INERPOLACIÓN DE LA ASCENSIÓN RECTA:
  • ${\alpha \text{'}}_0={\alpha }_2+\frac{n_0}{2}·(a_{\alpha }+b_{\alpha }+n_0·c_{\alpha })$
  • ${\alpha \text{'}}_1={\alpha }_2+\frac{n_0}{2}·(a_{\alpha }+b_{\alpha }+n_1·c_{\alpha })$
  • ${\alpha \text{'}}_2={\alpha }_2+\frac{n_0}{2}·(a_{\alpha }+b_{\alpha }+n_2·c_{\alpha })$
• INERPOLACIÓN DE LA DECLINACIÓN:
  • ${\delta \text{'}}_0={\delta }_2+\frac{n_0}{2}·(a_{\delta }+b_{\delta }+n_0·c_{\delta })$
  • ${\delta \text{'}}_1={\delta }_2+\frac{n_0}{2}·(a_{\delta }+b_{\delta }+n_1·c_{\delta })$
  • ${\delta \text{'}}_2={\delta }_2+\frac{n_0}{2}·(a_{\delta }+b_{\delta }+n_2·c_{\delta })$

Devuelve los valores interpolados (α'₀,δ'₀),(α'₁, δ'₁) y (α'₂,δ'₂) todos en grados

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ÁNGULOS HORARIO LOCAL CORREGIDO

ARGUMENTOS

• Longitud del lugar de observación: L
• Acensión recta en el día objeto: α_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Tiempo sideral aparente en el día objeto: θ_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)

CÁLCULOS

$H_i={\theta }_i-L-{\alpha }_i$

Devuelve el ángulo horario local del cuerpo en el día objeto H_i, en grados

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ALTURAS SOBRE EL HORIZONTE

ARGUMENTOS

• Latitud del lugar de observación: φ
• Declinación del cuerpo en el día objeto: δ_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Ángulo horario local del cuerpo en el día objeto: H_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)

CÁLCULOS

$h_i=arc\; sen(sen(\phi )·sen({\delta }_i)+cos(\phi )·cos({\delta }_i)·cos(H_i\left)\right)$

Devuelve la elevación del cuerpo en el día objeto h_i, en grados

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CORRECCIONES DE LAS FRACCIONES DIÁRIAS DE MOMENTOS DE CÁLCULO

ARGUMENTOS

• Latitud del lugar de observación: φ
• Declinación del cuerpo en el día objeto: δ_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Ángulo horario local del cuerpo en el día objeto: H_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Altura sobre horizonte o elevación del cuerpo en el día objeto: h_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Altitud estándar del cuerpo en el momento de orto u ocaso (afectada por refracción): h_s en grados

CÁLCULOS

• Salida o puesta (i=1,2): $\Delta m_i=\frac{h_i-h_s}{360·cos\left(\phi \right)·cos\left({\delta }_i\right)·sen\left(H_i\right)}$
• Tránsito: $\Delta m_0=-\frac{H_0}{360}$

Devuelve la corrección de la fracción diaria del cuerpo en el día objeto Δm_i, en grados

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FRACCIONES DIÁRIAS DE MOMENTOS DE CÁLCULO CORREGIDAS

ARGUMENTOS

• Fracción diaria del momento: m_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• corrección de la fracción diaria del cuerpo en el día objeto Δm_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)

CÁLCULOS

• $m_i\equiv {m\text{'}}_i=m_i+\Delta m_i$

Devuelve la nueva fracción del día corregida m_i

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ITERACIONES PARA CÁLCULOS DE ORTO, TRÁNSITO Y OCASO DE UN CUERPO

ARGUMENTOS

• Fracción diaria del momento: m_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Correcciones de Fracción diaria del momento: Δm_i (0=>tránsito; 1=>orto o 2=>ocaso)
• Precisión (cota de error): e = 10^-n

CÁLCULOS

• ITERACIÓN INICIAL (k=1)
  Valores iniciales "exagerados" para comenzar
  • Valor anterior ${\Delta m_i}_0=10$
  • Valor posterior ${\Delta m_i}_1=\Delta m_i$
  • Fracción diaria $m_{i_1}==m_i+{\Delta m_i}_1$
• ITERACIONES SUCESIVAS (k=2,3...)
  • Valor anterior ${\Delta m_i}_{k-1}$
  • Valor posterior ${\Delta m_i}_k=\Delta m_i$
  • Fracción diaria $m_{i_k}==m_{i_{k-1}}+{\Delta m_i}_k$
• FIN ITERACIONES
  • Cuando TODAS LAS CORRECCIONES cumplan: $|{\Delta m_i}_k-{\Delta m_i}_{k-1}|<e$
• FRACCIONES DIARIAS DE MOMENTOS DEFINITIVAS EN GRADOS
  • $m_i\equiv m_{i_k}+{\Delta m_i}_k$
• FRACCIONES DIARIAS DE MOMENTOS DEFINITIVAS EN HORAS
  • $m_i\equiv \frac{m_i}{15}$

Devuelve la fracción del día m_i en horas del día objeto

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VISIBILIDAD DE ESTRELLAS SEGUN PUNTO DE OBSERVACIÓN

ARGUMENTOS

• Latitud del punto de observación: φ
• Declinación de la estrella: δ

CÁLCULOS

• HEMISFERIO NORTE (φ>0)
  • SIEMPRE VISIBLES $\left\{\begin{array}{c}\delta >0\\ \delta >90-\phi \end{array}\right.$
  • SIEMPRE INVISIBLES $\left\{\begin{array}{c}\delta <0\\ \delta <\phi -90\end{array}\right.$
  • SALEN Y SE PONEN $\begin{array}{c}-(90-\phi )<\delta <(90-\phi )\end{array}$
• HEMISFERIO SUR (φ<0)
  • SIEMPRE VISIBLES $\left\{\begin{array}{c}\delta <0\\ \delta <-(90+\phi )\end{array}\right.$
  • SIEMPRE INVISIBLES $\left\{\begin{array}{c}\delta >0\\ \delta >+(90+\phi )\end{array}\right.$
  • SALEN Y SE PONEN $\begin{array}{c}-(90+\phi )<\delta <(90+\phi )\end{array}$
• ECUADOR (φ=0)
  TODAS SALEN Y SE PONEN pues se cumple siempre que:
  $\left|\delta \right|<90-\left|\phi \right|\equiv \left|\delta \right|<90\equiv -90<\delta <90$

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