CONSIDERACIONES Y ACLARACIONES

REDONDEOS Y TRUNCAMIENTOS

DATOS

• Número decimal: N ≡ X.Y
• Parte entera: X
• Parte decimal: Y
• Formato parte decimal: Y = {C₁}{C₂}{C₃}…{C_n}…

OPERACIONES

• Parte entera: $E\left[N\right]=X$
• Parte decimal: $D\left[N\right]=Y=N-E\left[N\right]$
• Truncamiento (cifra k-ésima): $T_k\left[N\right]=X.\left\{C_1\right\}\left\{C_2\right\}\left\{C_3\right\}\dots \left\{C_{\mathrm{k}}\right\}$
• Redondeo (cifra k-ésima):

ELEMENTOS DE DIVISIÓN

DATOS

• DIVIDENDO: d_n
• DIVISOR: d_r
• COCIENTE: q
• RESTO: r

OPERACIONES

• COCIENTE ENTERO: $Q\left[\frac{d_n}{d_r}\right]\equiv q=E\left[\frac{d_n}{d_r}\right]$
• RESTO: $R\left[\frac{d_n}{d_r}\right]\equiv r=d_n-d_r·q=d_n-d_r·E\left[\frac{d_n}{d_r}\right]$

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DÍA JULIANO (JULIAN DAY) J_D CORRESPONDIENTE A UNA FECHA Y HORA GREGORIANOS

ARGUMENTOS

• Fecha: d/m/a
• Hora: hr:mn:sg

CÁLCULOS

Configuración de parámetros

1. Parámetro ANUAL, P_A
$P_A=\left\{\begin{array}{ccc}a-1& \text{si}& m\le 2\\ a& \text{si}& m>2\end{array}\right.$
2. Parámetro MENSUAL, P_M
$P_M=\left\{\begin{array}{ccc}m+12& \text{si}& m\le 2\\ m& \text{si}& m>2\end{array}\right.$
3. Parámetro de paso, P_o
$P_o=E\left[\frac{a}{100}\right]$
4. Parámetro CALENDARIO, P_B
$P_B=\left\{\begin{array}{ccc}0& \text{si}& "d/m/a"<4/10/1582\\ 2-P_o+E\left[\frac{P_o}{4}\right]& \text{si}& "d/m/a"\ge 4/10/1582\end{array}\right.$
5. Parámetro DÍA, P_D
$P_D=d$
6. Parámetro HORA, P_H
$P_{\mathrm{H}}=\frac{\mathrm{hr}+\frac{\mathrm{mn}}{60}+\frac{\mathrm{sg}}{3600}}{24}$

Cálculo del día juliano

$J_D=E[365.25\cdot (P_{\mathrm{A}}+4716\left)\right]+E[30.6001\cdot (P_{\mathrm{M}}+1\left)\right]+P_{\mathrm{B}}+(P_{\mathrm{D}}+P_{\mathrm{H}})-1524.5$

Devuelve DÍA JULIANO J_D

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AÑO JULIANO REFERIDO A J2000.0, J_Y

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

$J_Y=\frac{J_D-2451545.0}{\mathrm{365,25}}$

Devuelve AÑO JULIANO J_Y desde J2000.0

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SIGLO JULIANO O CENTURIA JULIANA REFERIDO A J2000.0, J_C

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

$T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$

Devuelve SIGLO JULIANO T desde J2000.0

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MILENIO JULIANO REFERIDO A J2000.0, J_M

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

• $T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$
• $\tau \equiv t=\frac{J_C}{10}\equiv \frac{T}{10}$

Devuelve MILENIO JULIANO τ desde J2000.0

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DIEZMILENIOS JULIANOS REFERIDO A J2000.0, U

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• día juliano J_D

CÁLCULOS

• $T\equiv J_C=\frac{J_D-2451545.0}{36525}$
• $\tau \equiv t=\frac{J_C}{10}\equiv \frac{T}{10}$
• $U=\frac{\tau }{10}\equiv \frac{T}{100}\equiv \frac{J_Y}{10000}$

Devuelve DIEZMILENIO JULIANO U desde J2000.0

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DELTA-T: ΔT = [TD] - [UT]

ARGUMENTOS

• Fecha y hora completa
• año y mes: "a" y "m"

CÁLCULOS

• $y=a+\frac{(m-0.5)}{12}$
• $\text{Si}a<-500{ \begin{array}{l}u=\frac{y-1820}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·u^2\end{array}$
• $\text{Si}-500\le a<500{ \begin{array}{l}u=\frac{y}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=10583.6-1014.41·u+33.78311·u^2-5.952053·u^3-0.1798452·u^4+0.022174192·u^5+0.0090316521·u^6\end{array}$
• $\text{Si}-500\le a<1600{ \begin{array}{l}u=\frac{y-1000}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=1574.2-556.01·u+71.23472·u^2+0.319781·u^3-0.8503463·u^4-0.005050998·u^5+0.0083572073·u^6\end{array}$
• $\text{Si}1600\le a<1700{ \begin{array}{l}u=y-1600\\ \mathrm{\Delta T}=120-0.98081·u-0.01532·u^2+\frac{u^3}{7129}\end{array}$
• $\text{Si}1700\le a<1800{ \begin{array}{l}u=y-1700\\ \mathrm{\Delta T}=8.83+0.1603·u-0.0059285·u^2+0.00013336·u^3-\frac{u^4}{1174000}\end{array}$
• $\text{Si}1800\le a<1860{ \begin{array}{l}u=y-1800\\ \mathrm{\Delta T}=13.72-0.332447·u+0.0068612·u^2+0.0041116·u^3-0.00037436·u^4+0.0000121272·u^5-0.0000001699·u^6+0.000000000875·u^7\end{array}$
• $\text{Si}1860\le a<1900{ \begin{array}{l}u=y-1860\\ \mathrm{\Delta T}=7.62+0.5737·u-0.251754·u^2+0.01680668·u^3-0.0004473624·u^4+\frac{u^5}{233174}\end{array}$
• $\text{Si}1900\le a<1920{ \begin{array}{l}u=y-1900\\ \mathrm{\Delta T}=-2.79+1.494119·u-0.0598939·u^2+0.0061966·u^3-0.000197·u^4\end{array}$
• $\text{Si}1920\le a<1941{ \begin{array}{l}u=y-1920\\ \mathrm{\Delta T}=21.20+0.84493·u-0.076100·u^2+0.0020936·u^3\end{array}$
• $\text{Si}1941\le a<1961{ \begin{array}{l}u=y-1950\\ \mathrm{\Delta T}=29.07+0.407·u-\frac{u^2}{233}+\frac{u^3}{2547}\end{array}$
• $\text{Si}1961\le a<1986{ \begin{array}{l}u=y-1975\\ \mathrm{\Delta T}=45.45+1.067·u-\frac{u^2}{260}-\frac{u^3}{718}\end{array}$
• $\text{Si}1986\le a<2005{ \begin{array}{l}u=y-2000\\ \mathrm{\Delta T}=263.86+0.3345·u-0.060374·u^2+0.0017275·u^3+0.000651814·u^4\end{array}$
• $\text{Si}2005\le a<2050{ \begin{array}{l}u=y-2000\\ \mathrm{\Delta T}=62.92+0.32217·u+0.005589·u^2\end{array}$
• $\text{Si}2050\le a<2150{ \begin{array}{l}u=\mathrm{2150}-\mathrm{y}\\ v=y-1820\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·{\left(\frac{v}{100}\right)}^2-0.5628·u\end{array}$
• $\text{Si}a\ge 2150{ \begin{array}{l}u=\frac{a-1820}{100}\\ \mathrm{\Delta T}=-20+32·u^2\end{array}$

Devuelve segundos de tiempo

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FECHA GREGORIANA CORRESPONDIENTE A UN DÍA JULIANO

ARGUMENTOS

• Día juliano, J_D

CÁLCULOS

Configuración de parámetros

1. $Z=E[J_D+0.5]$
2. $F=D[J_D+0.5]$
3. $A_0=E\left[\frac{Z-1867216.25}{\mathrm{36524,25}}\right]$
4. $A={ \begin{array}{lll}Z& \text{si}& Z<2299161\\ Z+1+A_0-E\left[\frac{A_0}{4}\right]& \text{si}& Z\ge 2299161\end{array}$
5. $B=A+1524$
6. $C=E\left[\frac{B-122.1}{\mathrm{365,25}}\right]$
7. $D=E[365.25\cdot C]$
8. $K=E\left[\frac{B-D}{30.6001}\right]$

Cálculo de fecha

1. FECHA: PARÁMETRO d₀
$d_0=B-D-E[30.6001\cdot K]+F$
2. FECHA: DÍA
$d=E\left[d_0\right]$
3. FECHA: MES
$m={ \begin{array}{ccc}K-1& \text{si}& K<14\\ K-13& \text{si}& K<14\end{array}$
4. FECHA: AÑO
$a={ \begin{array}{ccc}C-4716& \text{si}& m>2\\ C-4715& \text{si}& m\le 2\end{array}$
5. FECHA: PARÁMETRO H₀
$H_0=(d_0-E[d_0\left]\right)\cdot 24$
6. TIEMPO: HORA
$\mathrm{hr}=E\left[H_0\right]$
7. FECHA: PARÁMETRO M₀
$M_0=(H_0-\mathrm{hr})\cdot 60$
8. TIEMPO: MINUTO
$\mathrm{mn}=E\left[M_0\right]$
9. FECHA: PARÁMETRO S₀
$S_0=(M_0-\mathrm{mn})\cdot 60$
10. TIEMPO: SEGUNDO
PRECISIÓN: (cifras significativas: n) con tres suele ser suficiente, n=3
$p={10}^n$
$\mathrm{sg}=\frac{E\left[\right(p\cdot S_0)+0.5]}{p}$

Devuelve fecha gregoriana: { [d/m/a] , [hr:mn:sg] }

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POSICIÓN APARENTE DE PLANETAS MAYORES

ARGUMENTOS

• Planeta , Pl (inicial del planeta, X para Mercurio)
• Día juliano [TD], J_D
• Orden de precisión (10^-p), p

CÁLCULOS

• Cota de error: $e_a={10}^{-p}$

ITERACIÓN 1ª
• Tiempo de luz actual: ${\tau }_1=0$
• Momento juliano inicial: $J_p=J_D-{\tau }_1$
• Obtener las coordenadas heliocéntricas del planeta para J_p: L, B y R
• Obtener las coordenadas heliocéntricas de La Tierra para J_D: L_T, B_T y R_T
• $\left\{\begin{array}{ccc}x& =& R·cos\left(B\right)·cos\left(L\right)-R_T·cos\left(B_T\right)·cos\left(L_T\right)\\ y& =& R·cos\left(B\right)·sen\left(L\right)-R_T·cos\left(B_T\right)·sen\left(L_T\right)\\ z& =& R·sen\left(B\right)-R_T·sen\left(B_T\right)\end{array}\right.$
• ${\Delta }_1=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

ITERACIÓN nª
• Tiempo de luz actual: ${\tau }_n=0.0057755183·{\Delta }_{\mathrm{n-1}}$
• Momento juliano actual: $J_p=J_D-{\tau }_n$
• Obtener las coordenadas heliocéntricas del planeta para J_p: L, B y R
• Obtener las coordenadas heliocéntricas de La Tierra para J_D: L_T, B_T y R_T
• $\left\{\begin{array}{ccc}x& =& R·cos\left(B\right)·cos\left(L\right)-R_T·cos\left(B_T\right)·cos\left(L_T\right)\\ y& =& R·cos\left(B\right)·sen\left(L\right)-R_T·cos\left(B_T\right)·sen\left(L_T\right)\\ z& =& R·sen\left(B\right)-R_T·sen\left(B_T\right)\end{array}\right.$
• ${\Delta }_n=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Se alcanza solución cuando:
• $|{\tau }_n-{\tau }_{\mathrm{n-1}}|<e_a\Rightarrow { \begin{array}{lll}{\tau }_c& =& {\tau }_n\\ \Delta & =& {\Delta }_n\end{array}$

COORDENADAS GEOCENTRICAS SIN CORRECCIONES
• $\lambda =arctan\left(\frac{y}{x}\right)$
• $\beta =arctan\left(\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$

COORDENADAS GEOCENTRICAS CORREGIDAS POR TIEMPO DE LUZ Y ABERRACIÓN(movimiento de la Tierra)
• Constante de aberración: K_A=20.49552"
• Calcular con los algoritmos correspondientes:
  • Excentricidad terrestre, e
  • Centro del Sol: ⨀=L_T+180º
  • Longitud verdadera del Sol, L_v
  • Longitud del perihelio, π
  Correcciones (en segundos de arco):
  • $\Delta \lambda =\frac{-K_A·cos(⨀-\lambda )+e·K_A·cos(\pi -\lambda )}{cos\left(\beta \right)}$
  • $\Delta \beta =-·K_A·sen\left(\beta \right)·(sen(⨀-\lambda )-e·sen(\pi -\lambda \left)\right)$
• COORDENADAS CORREGIDAS
  • $\lambda \equiv \lambda +\frac{\Delta \lambda }{3600}$
  • $\beta \equiv \beta +\frac{\Delta \beta }{3600}$

CONVERTIR LAS COORDENADAS GEOCÉNTRICAS A FK5
• $T=\frac{J_D-2451545}{36525}$
• $\lambda \text{'}=\lambda -1.397·T-0.00031·T^2$
• Correcciones:
  • $\Delta \lambda =-0.09033+0.03916·(cos(\lambda \text{'})+sen(\lambda \text{'}\left)\right)·tan\left(\beta \right)$
  • $\Delta \beta =0.03916·(cos(\lambda \text{'})+sen(\lambda \text{'}\left)\right)$
• Coordenadas corregidas:
  • $\lambda \equiv \lambda +\frac{\Delta \lambda }{3600}$
  • $\beta \equiv \beta +\frac{\Delta \beta }{3600}$

COORDENADAS CORREGIDAS POR NUTACIÓN
• $J_c=J_D-{\tau }_c$
• Para este momento J_c, calcular la nutación en ascensión recta (en grados): Δψ
• Coordenadas corregidas:
  • $\lambda \equiv \lambda +\Delta \psi$
  • $\beta \equiv \beta$

CONVERSIÓN DE GEOCENTRICAS A ECUATORIALES
• Cálculos intermedios
  • $y_e=cos\left(\lambda \right)$
  • $z_e=sen\left(\beta \right)·cos\left(\epsilon \right)+cos\left(\beta \right)·sen\left(\epsilon \right)·sen\left(\lambda \right)$
• Coordenadas
  • $\alpha =arctan\left(\frac{x_e}{y_e}\right)·\frac{1}{15}$
  • $\delta =arcsen\left(z_e\right)$

Devuelve ascensión recta α en horas, y declinación δ en grados

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POSICIÓN APARENTE DE PLANETAS MENORES Y COMETAS

ARGUMENTOS

• Día juliano del momento de cálculo, J_t
• Día juliano del momento de perihelio, J_p
• Semieje mayor de la órbita, a
• Excentricidad de la órbita, e
• Inclinación de la órbita, i
• Longitud del nodo ascendente, Ω
• Argumento del perihelio, ω
• Orden de precisión (10^-p), p

CÁLCULOS

• Cota de error: $e_a={10}^{-p}$
• Oblicuidad de la eclíptica en J2000.0: $\epsilon \equiv {\epsilon }_{2000}=23+\frac{26}{60}+\frac{21.448}{3600}$
• Movimiento diario:
• CANTIDADES AUXILIARES
  • GRUPO I
  • GRUPO II
    • $A=arctan\left(\frac{F}{P}\right)$
    • $B=arctan\left(\frac{G}{Q}\right)$
    • $C=arctan\left(\frac{H}{R}\right)$
  • GRUPO III
    • $a=\sqrt{F^2+P^2}$
    • $b=\sqrt{G^2+Q^2}$
    • $c=\sqrt{H^2+R^2}$
  • Diferencia de tiempos: $D=J_{\mathrm{t}}-J_{\mathrm{p}}$
• CÁLCULO BASE:
  • Anomalía media: $M=n_d·D$
  • Anomalía excéntrica (utilizar el algoritmo de este portal): $E$
  • Anomalía verdadera: $\nu =2·arctan(\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}·tan(\frac{E}{2}\left)\right)$
  • Radio vector: $r=a·(1-e·cos(E\left)\right)$
  • Coordenadas ecuatoriales rectangulares heliocéntricas: ${ \begin{array}{lll}x& =& r·a·sen(A+\omega +\nu )\\ y& =& r·b·sen(B+\omega +\nu )\\ z& =& r·c·sen(C+\omega +\nu )\end{array}$
  • Obtener coordenadas heliocéntricas de La Tierra (VSOP87)en la fecha de cálculo: $\text{En el momento}{J}_t\Rightarrow { \begin{array}{l}L\\ B\\ R\end{array}$
  • Coordenadas esféricas del Sol: ${ \begin{array}{lll}⨀& =& L+180\\ \beta & =& -B\end{array}$
  • Coordenadas rectangulares del Sol en el instante de cálculo J_t: ${ \begin{array}{lll}X& =& R·cos\left(\beta \right)·cos\left(⨀\right)\\ Y& =& R·(cos(\beta )·sen(⨀)·cos(\epsilon )-sen(\beta )·sen(\epsilon \left)\right)\\ Z& =& R·(cos(\beta )·sen(⨀)·sen(\epsilon )+sen(\beta )·cos(\epsilon \left)\right)\end{array}$
  • Variables auxiliares: ${ \begin{array}{lll}\xi & =& x+X\\ \eta & =& y+Y\\ \zeta & =& z+Z\end{array}$
  • Distancia a La Tierra: $\Delta =\sqrt{{\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2}$
  • Tiempo de luz: $\tau =0.0057755183·\Delta$
• REPETIR EL CÁLCULO BASE PARA TIEMPO DE CÁLCULO CORREGIDO POR TIEMPO DE LUZ:
  • Diferencia de tiempos: $D=(J_{\mathrm{t}}-\tau )-<msub><mi>J</mi><mn>p</mn></msub>$
• CONCLUSIONES
  • Se obtiene así, la distancia a la Tierra, Δ y el tiempo de luz, τ
  • COORDENADAS ECUATORIALES
    • Ascensión recta: $\alpha =arctan\left(\frac{\eta }{\xi }\right)·\frac{180}{15·\pi }$
    • Declinación: $\delta =arcsen\left(\frac{\zeta }{\Delta }\right)·\frac{180}{\pi }$

  Devuelve ascensión recta en horas y declinación en grados

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ECUACIÓN DE BARKER

ARGUMENTOS

• Día juliano del perihelio [TD], J_t0
• Día juliano del cálculo [TD], J_t
• Distancia de perihelio, q (UA)
• Constante Gravitacional de Gauss, K_G = 0.01720209895
• Orden de precisión (10^-p), p

CÁLCULOS

• Cota de error: $c_e={10}^{\mathrm{-p}}$
• Factor de cálculo: $k_0=\frac{3·k_G}{\sqrt{2}}$
• Diferencia de tiempos: $D_t=J_t-J_{\mathrm{t0}}$
• Variable de iteración: $W=\frac{k_0·\left(D_t\right)}{q·\sqrt{q}}$
• Ecuación de BARKER: $s^3+3·s-W=0$
  • Primer valor de s: s₀=0
  • Sucesivos valores de s: $s_n=\frac{2·{s_{\mathrm{n-1}}}^3+W}{3·({s_{\mathrm{n-1}}}^2+1)}$
  • Convergencia de la iteración cuando: $|s_n-s_{\mathrm{n-1}}|<c_e$
  • Solución de la ecuación: s = s_n

Devuelve la solución s de la ecuación

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ANOMALÍA VERDADERA Y RADIO VECTOR. (MOVIMIENTO PARABÓLICO)

ARGUMENTOS

• Día juliano del perihelio [TD], J_t0
• Día juliano del cálculo [TD], J_t
• Distancia de perihelio, q (UA)
• Constante Gravitacional de Gauss, K_G = 0.01720209895
• Orden de precisión (10^-p), p

CÁLCULOS

• Cota de error: $c_e={10}^{\mathrm{-p}}$
• Solución de la ecuación de BARKER: s
• Anomalía verdadera: $\nu =2·arctan\left(s\right)$
• Radio vector: $r=q·(1+s^2)$

Devuelve la anomalía verdadera en grados y el radio vector en UA

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COORDENADAS ECUATORIALES RECTANGULARES GEOCÉNTRICAS DE PLUTÓN

ARGUMENTOS

• Día juliano [TD], J_D
• Tabla de términos periódicos para Plutón

CÁLCULOS

• Obtener las coordenadas heliocéntricas y radio vector de Plutón para J_D mediante series de términos periódicos: l, b, r
• Obtener las coordenadas rectangulares del Sol (J2000.0) para J_D: X, Y, Z
• Cálculo de las coordenadas rectangulares geocéntricas de Plutón (J2000.0) para J_D:
  $\left\{\begin{array}{ccc}x& =& r·cos\left(l\right)·cos\left(b\right)\\ y& =& r·(sen(l)·cos(b)·cos(\epsilon 0)-sen(b)·sen(\epsilon 0\left)\right)\\ z& =& r·(sen(l)·cos(b)·sen(\epsilon 0)+sen(b)·cos(\epsilon 0\left)\right)\end{array}\right.$

Devuelve las coordenadas x, y, z

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POSICIÓN PLUTÓN (C. ECUATORIALES)

ARGUMENTOS

• Día juliano [TD], J_D
• Orden de precisión (10^-p), p

CÁLCULOS

• Cota de error: $e_a={10}^{-p}$

ITERACIÓN nª
• Tiempo de luz actual: ${ \begin{array}{ccc}{\tau }_1=0& \text{si}& n=1\\ {\tau }_n=0.0057755183·{\Delta }_{\mathrm{n-1}}& \text{si}& n>1\end{array}$
• Momento juliano actual: $J_n=J_D-{\tau }_n$
• Obtener las coordenadas heliocéntricas y radio vector de Plutón para J_n mediante series de términos periódicos:
  l_n, b_n, r_n
• Obtener las coordenadas rectangulares del Sol (J2000.0) para J_n: X_n, Y_n, Z_n
• Obtener las coordenadas rectangulares geocéntricas de Plutón (J2000.0) para J_n: x_n, y_n, z_n
• Cálcular las variables intermedias: $\left\{\begin{array}{ccc}{\xi }_n& =& x_n+X_n\\ {\eta }_n& =& y_n+Y_n\\ {\zeta }_n& =& z_n+Z_n\end{array}\right.$
• Distancia a La Tierra: ${\Delta }_n=\sqrt{{{\xi }_n}^2+{{\eta }_n}^2+{{\zeta }_n}^2}$

Se alcanza solución cuando:
• $|{\tau }_n-{\tau }_{\mathrm{n-1}}|<e_a\Rightarrow { \begin{array}{lll}{\tau }_c& =& {\tau }_n\\ \Delta & =& {\Delta }_n\end{array}$

COORDENADAS ECUATORIALES DE PLUTÓN:
• $\alpha =arctan\left(\frac{{\eta }_n}{{\xi }_n}\right)·\frac{180}{15·\pi }$
• $\delta =arcsen\left(\frac{{\zeta }_n}{{\Delta }_n}\right)·\frac{180}{\pi }$

Devuelve ascensión recta α en horas, declinación δ en grados, distancia a La Tierra Δ en UA y Tiempo de luz τ_c en días

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